高等傳熱學課件-第3章控制體的微分方程.pdf

第三章控制體的微分方程
第一節定義
第二節控制體物理量及守恒定律的數學描述
第三節方程封閉性的討論
第四節小結
第一節定義
 坐標系中的自然定義：矢量不僅有大小還有方向，與坐標系方向一致的，符號為“+”，否則為“-”。
 控制體中的人為定義：控制體中的諸物理量增加時，符號“+”，否則為“-”。
 控制面上的實際情況：必須同時考慮關于控制面上所發生的“進”和“出”兩種情況。
 定義控制體產生率：控制體內隨時間的物理量增量減去因控制面上的流動而引起的控制體物理量增量。

第二節控制體物理量及守恒定律的數學描述
本節所用到的數學描述都是基于這樣一種思想：我們所研究的對象是物體的宏觀運動，即大量分子的平均行為，而不是單個分子的個別行為，因而可以不去考慮物質的分子結構和單個分子的運動細節。這稱為連續介質模型。
以下分析為了簡單起見采用二維模型。
熱設計

質量守恒定律的數學描述：對于一個控制體積，流出控制體積的質量速率為

動量守恒的數學描述運用動量守恒必須分析控制體積所受到的力，可分為體積力與表面力。前者分析較為簡單，而后者在所研究的問題中是待求的未知量。控制體表面某點所受到的應力稱為應力矢量，描寫任一點的應力狀態需要借助應力張量

第三節方程封閉性討論
 我們已經建立了表示三個基本物理定律得數學方程式。它們包含兩個表兩方程和一個矢量方程，二維情形下，一共得到四個偏微分方程。方程組中出現的未知函數是：一共12個未知量，方程四個，應補充方程8個

補充的途徑有：
一、非平衡體系的熱力學函數
二、傳熱定律和擴散定律
三、牛頓流體粘性定律
在實際問題中，通常還對所研究的問題進行簡化。例如定常情形不需要考慮物理量隨時間的變化；無體積力不可壓情形可使方程減少三個未知量；無粘流動則使方程大為簡化。這些做法使方程的封閉性可以進一步滿足，解起來也更為方便。
第四節小結與討論
 在寫出控制體的數學表述之前，必須對物理量的符號進行定義：一種是基于坐標系的自然定義，一種是基于控制體的人為定義。
 如果不引入三大守恒原理，我們無法寫出關于控制體的微分方程。
 由于系統和控制體之間的差別在于在邊界面上有無質量的進出，因此關于系統的三大守恒原理和關于控制體的三大守恒原理，在數學描述上有所差異。

 對控制體，在應用了三大守恒原理之后，我們只可以寫出有限數量的方程（一維：3個；二維：4個；三維：5個），因此，對任何實際情況，都必須寫出補充方程，才可以進行封閉求解。
上面分析可以看到關于系統的三代守恒定律和關于控制體積的三大守恒定律是有差別的，那么兩者的又是如何統一起來的？
 雷諾輸運公式表明：一個物質體系內某種流體廣延量的增長率，等于體系在該時刻所占的那個空間域中同一物理量的增長率，加上單位時間內由區域邊界流出的該物理量的總通量。

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